Question

17．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，以A為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E．
（1）求證：E是CD的中點(diǎn)；（2）求EF•FB的值．

Answer 1

分析 （1）由題意得EA為圓D的切線，由切割線定理，得EA²=EF•EC，EB²=EF•EC，由此能證明AE=EB．
（2）連結(jié)BF，得BF⊥EC，在RT△EBC中，由射影定理得EF•FC=BF²，由此能求出結(jié)果

解答 解：（1）由題可知$\widehat{BD}$是以為A圓心，DA為半徑作圓，而ABCD為正方形，
∴ED為圓A的切線
依據(jù)切割線定理得ED²=EF•EB …（2分）
∵圓O以BC 為直徑，∴EC是圓O的切線，
同樣依據(jù)切割線定理得EC²=EF•EB…（4分）
故EC=ED∴E為CD的中點(diǎn)．…（5分）
（2）連結(jié)CF，
∵BC為圓O的直徑，
∴CF⊥BF  …（6分）
由${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}BC×CE=\frac{1}{2}BE×CF$得$CF=\frac{1×2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（8分）
又在Rt△BCE中，由射影定理得$EF•FB=C{F^2}=\frac{4}{5}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓有關(guān)的線段相等的證明，考查兩線段乘積的求法，解題時(shí)要注意射影定理和切割線定理的合理運(yùn)用．