Question

已知圓x²+y²-4x+2y-3=0和圓外一點(diǎn)M（4，-8）．
（1）過M作圓的割線交圓于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，求直線AB的方程；
（2）過M作圓的切線，切點(diǎn)為C、D，求切線長(zhǎng)及CD所在直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心O和半徑，再根據(jù)弦長(zhǎng)為4，結(jié)合垂徑定理得到圓心到直線AB的距離，則就可以利用點(diǎn)到直線的距離公式求出直線AB的斜率，問題獲解；
（2）利用切線的性質(zhì)可知，切線長(zhǎng)、半徑、M點(diǎn)到圓心距離滿足勾股定理，則切線長(zhǎng)可求；再利用切點(diǎn)與點(diǎn)M的連線和半徑垂直以及切點(diǎn)C，D都在圓上列出方程組，兩式相減即可得到CD所在直線的方程．

解答： 解：x²+y²-4x+2y-3=0可化為：（x-2）²+（y+1）²=8，所以圓心O為（2，-1），半徑r=2

2

；
（1）由題意設(shè)割線方程為y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0 ①，因?yàn)榘霃絩=2

2

，|AB|=4，所以圓心到割線距離d=

r2-( |AB| 2 )2

=2，
∴，

|2k+1-4k-8|

k2+1

=2，解得k=-

45

28

，代入①得直線方程為45x+28y+44=0；經(jīng)驗(yàn)證，x=4也符合題意．
所以直線AB方程為45x+28y+44=0或x=4．
（2）易知|MO|=

(4-2)2+(-8+1)2

=

53

，∴切線長(zhǎng)l=

|MO|2-r2

=3

5

；
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則由題意得

y+1 x-2 • y+8 x-4 =-1 x2+y2-4x+2y-3=0

，即

x2+y2-6x+9y+16=0 x2+y2-4x+2y-3=0

兩式相減得CD方程為2x-7y-19=0．

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)圓的弦長(zhǎng)問題一般會(huì)用到垂徑定理，側(cè)重考查圓的幾何性質(zhì)；而第二問則采用了“交軌法”．