Question

7．已知圓x²+y²-2x-4y+3=0關(guān)于直線ax+by-3=0（a＞0，b＞0）對(duì)稱，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為2+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 求出圓的圓心代入直線方程，然后利用基本不等式求解最值即可．

解答 解：∵圓x²+y²-2x-4y+3=0?（x-1）²+（y-2）²=2，
圓x²+y²-2x-4y+3=0關(guān)于直線ax+by-3=0（a＞0，b＞0）對(duì)稱，
∴該直線經(jīng)過圓心（1，2），
把圓心（1，2）代入直線ax+by-3=0（a＞0，b＞0），得：a+2b-3=0
∴a+2b=3，a＞0，b＞0
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）（a+b）=$\frac{1}{3}$（1+4+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$）≥$\frac{1}{3}$（5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}}$）=3
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2b}{a}$=$\frac{2a}$，即a=b=1時(shí)取得最小值為3
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意圓的性質(zhì)和均值定理的合理運(yùn)用．