Question

17．設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點A為橢圓C的左頂點，點B為橢圓C的上頂點，且|AB|=$\sqrt{3}$，△BF₁F₂為直角三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+2與橢圓交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理a²+b²=3，利用焦點三角形為直角三角形可知b=c，結(jié)合b²+c²=a²可求出$a=\sqrt{2}，b=1$，進(jìn)而可知橢圓C的方程；
（2）通過聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y可得關(guān)于x的一元二次方程，利用直線與橢圓有交點可知${k^2}＞\frac{3}{2}$，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理及OP⊥OQ對于的向量內(nèi)積為零，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由題可知$|AB|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{3}$，所以a²+b²=3，
因為△BF₁F₂為直角三角形，所以b=c，
又b²+c²=a²，
所以$a=\sqrt{2}，b=1$，
所以橢圓方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由△=（8k）²-4（1+2k²）•6＞0，得：${k^2}＞\frac{3}{2}$，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{6}{{1+2{k^2}}}$，
因為OP⊥OQ，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x_1}•{x_2}+{y_1}•{y_2}$
=$（1+{k^2}）{x_1}•{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4=\frac{{6-10{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+4=0$，
所以k²=5，滿足${k^2}＞\frac{3}{2}$，
所以$k=±\sqrt{5}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．