Question

17．某書(shū)店銷(xiāo)售剛剛上市的某知名品牌的高三數(shù)學(xué)單元卷，按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行5天試銷(xiāo)，每種單價(jià)試銷(xiāo)1天，得到如表數(shù)據(jù)：

單價(jià)x（元）	18	19	20	21	22
銷(xiāo)量y（冊(cè)）	61	56	50	48	45

（1）求試銷(xiāo)5天的銷(xiāo)量的方差和y對(duì)x的回歸直線方程；
（2）預(yù)計(jì)今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)服從（1）中的回歸方程，已知每?jī)?cè)單元卷的成本是14元，
為了獲得最大利潤(rùn)，該單元卷的單價(jià)應(yīng)定為多少元？
附：b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，a=$\overline y$-b$\overline x$．

Answer 1

分析 1）計(jì)算平均數(shù)，利用公式求出a，b，即可得出y對(duì)x的回歸直線方程；
（2）設(shè)獲得的利潤(rùn)為z元，利用利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本，建立函數(shù)，利用配方法可求獲得的利潤(rùn)最大．

解答 解：（1）∵$x=\frac{18+19+20+21+22}{5}=20，y=\frac{61+56+50+48+45}{5}=52$，
$s_y^2=\frac{1}{5}（{{9^2}+{4^2}+{2^2}+{4^2}+{7^2}}）=33.2$，
∵$\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-x}）}（{{y_i}-y}）=-40，{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-x}）}^2}=10$，
∴$b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-x}）}（{{y_i}-y}）}}{{{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-x}）}}^2}}}=-4，\widehata=y-\widehatbx=52+20×4=132$，
所以y對(duì)x的回歸直線方程為：$\widehaty=-4\widehatx+132$．
（2）獲得的利潤(rùn)z=（x-14）y=-4x²+188x-1848，
∵二次函數(shù)z=-4x²+188x-1848的開(kāi)口朝下，
∴當(dāng)$x=\frac{188}{8}=23.5$時(shí)，z取最大值，
∴當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為23.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查回歸分析，考查二次函數(shù)，考查運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．