Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）當(dāng)b＞$\frac{1}{2}$時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)b≤$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 （I）首先判斷函數(shù)的定義域，并求出f（x）導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（II）分類討論當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)b＜$\frac{1}{2}$時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)判斷原函數(shù)是否存在極值點(diǎn)；

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）的定義域在（-1，+∞），f'（x）=2x+$\frac{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$；
令g（x）=2x²+2x+b，則g（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上遞增，在（-1，-$\frac{1}{2}$）上遞減，
g（x）_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$+b，當(dāng)b＞$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）_min＞0；
g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即當(dāng)b＞$\frac{1}{2}$，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增．        
（Ⅱ）（1）當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）=$\frac{2（x+\frac{1}{2}）^{2}}{x+1}$，
∴x∈（-1，-$\frac{1}{2}$）時(shí)，f'（x）＞0；x∈（-$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
∴b=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無(wú)極值點(diǎn)；                            
（2）當(dāng)b＜$\frac{1}{2}$時(shí)，解f'（x）=0得兩個(gè)不同解${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
當(dāng)b＜0時(shí)，${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$，
∴x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），
f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
當(dāng)0＜b＜$\frac{1}{2}$時(shí)，x₁，x₂∈（-1，+∞）f'（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f'（x）在（x₁，x₂）上小于0，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}$和一個(gè)極小值點(diǎn)${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
綜上可知，b＜0，時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
0＜b＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-2b}}}{2}$和一個(gè)極小值點(diǎn)${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-2b}}}{2}$；
$b=\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無(wú)極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)極值點(diǎn)等綜合性知識(shí)點(diǎn)，屬中等偏上題．