Question

8．已知f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對(duì)任意x＞0，均有x（2lna-lnx）≤a恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為2lna≤lna+1，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，0＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上遞減，
x＞a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上遞增，
f（x）_極小值=f（a）=lna+1；
（2）若對(duì)任意x＞0，均有x（2lna-lnx）≤a恒成立，
即對(duì)任意x＞0，均有2lna≤lnx+$\frac{a}{x}$恒成立，
由（1）得：f（x）的最小值是lna+1，
故問題轉(zhuǎn)化為：2lna≤lna+1，即lna≤1，
故0＜a≤$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．