Question

7．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，若傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l經(jīng)過點(diǎn)P（4，2）．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcos\frac{π}{3}}\\{y=2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，化簡即可得出（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入可得直角坐標(biāo)方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得：t²+$（2+2\sqrt{3}）$t+4=0．由于A，B兩點(diǎn)在點(diǎn)P的同側(cè)，可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（I）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcos\frac{π}{3}}\\{y=2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x，配方為：（x-2）²+y²=4．
（II）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程可得：t²+$（2+2\sqrt{3}）$t+4=0．
∴t₁+t₂=-$（2+2\sqrt{3}）$．
∵A，B兩點(diǎn)在點(diǎn)P的同側(cè)，∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=$2+2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．