Question

如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，割線PBC經(jīng)過圓心O，且PB=

1

2

BC．
（Ⅰ）求證：PA=AC；
（Ⅱ）若點D是弧AC的中點，PD與⊙O交于另一點E，PB=1，求PE的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（I）利用切割線定理可得PA²=PB•PC，即可得出；
（II）連接OD，CD，利用D為

AC

的中點，可得∠COD=

1

2

∠AOC=60°，PB=1，PC=3，CD=1．由余弦定理得PD²=PC²+CD²-2PC•CDcos60°可得PD=

7

，再由切割線定理可得PA²=PE•PD，即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)BC=2R，則PB=R，PC=3R，
∵PA為切線，由切割線定理得，PA²=PB•PC=3R²，
∴PA=

3

R．
連接OA，PA⊥OA，
∴∠POA=60°．∠AOC=120°．
∴AC=

3

R，∴PA=AC．
（Ⅱ） 解：連接OD，CD，
∵D為

AC

的中點，
∴∠COD=

1

2

∠AOC=60°，
而OC=OD，∠PCD=60°，
∵PB=1，
∴PC=3，CD=1，
由余弦定理得PD²=PC²+CD²-2PC•CDcos60°=32+12-2×3×

1

2

=7，
∴PD=

7

，
再由切割線定理得，PA²=PE•PD，
∴3=

7

PE．
∴PE=

3 7

7

．

點評：本題考查了切割線定理、余弦定理、圓的切線的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．