Question

已知函數(shù)f（x）=log₃

1-x

1-mx

（m≠1）是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=

1-x

1-mx

，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）解不等式：f（t+3）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）可以由奇函數(shù)定義得到解析式滿足的條件，從而求出參數(shù)m的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，可以證明函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）利用（2）的結(jié)論，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再利用f（x）的單調(diào)性解不等式f（t+3）＜0，得到t的取值范圍，注意函數(shù)的定義域．

解答： 解：（1）由題意得：f（-x）+f（x）=0對(duì)于定義域中的x都成立，
∴log3

1+x

1+mx

+log3

1-x

1-mx

=0，

1+x

1+mx

×

1-x

1-mx

=1．
∴1-x²=1-mx²對(duì)于定義域中的x都成立，
∴m²=1，
∵m≠1，
∴m=-1．
∴f(x)=log3

1-x

1+x

．
（2）由（1）知：g(x)=

1-x

1+x

，
設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，
∵g（x₁）-g（x₂）=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減．
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
由（2）知：g（x₁）＞g（x₂），
∴l(xiāng)og₃g（x₁）＞log₃g（x₂），
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減．
∵f（t+3）＜0=f（0），
∴

-1＜t+3＜1 t+3＞0

，
∴-3＜t＜-2．
∴不等式：f（t+3）＜0的解集為：{t|-3＜t＜-2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．