Question

7．某程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)五位的二進(jìn)制數(shù)A=，其中A的各位數(shù)字中，a₁=1，且a_k（k=2，3，4，5）為0和1的概率分別是$\frac{1}{4}$和$\frac{3}{4}$．記ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)：
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

分析 （I）ξ的取值可以是1，2，3，4，5，P（ξ=k）=${∁}_{4}^{k-1}（\frac{3}{4}）^{k-1}（\frac{1}{4}）^{5-k}$，即可得出分布列．
（II）利用數(shù)學(xué)期望與方差計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）ξ的取值可以是1，2，3，4，5，P（ξ=k）=${∁}_{4}^{k-1}（\frac{3}{4}）^{k-1}（\frac{1}{4}）^{5-k}$，
可得：P（ξ=1）=$\frac{1}{256}$，P（ξ=2）=$\frac{12}{256}$，$P（ξ=3）=C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{54}{256}$，P（ξ=4）=$\frac{108}{256}$，$P（ξ=5）=C_4^4{（\frac{3}{4}）^4}=\frac{81}{256}$，∴ξ的分布列是

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{81}{256}$

（II）由（I）可得：$Eξ=1×\frac{1}{256}+2×\frac{12}{256}+3×\frac{54}{256}+4×\frac{108}{256}+5×\frac{81}{256}=4$．$Dξ={（{1-4}）^2}×\frac{1}{256}+{（{2-4}）^2}×\frac{12}{256}+{（{3-4}）^2}×\frac{54}{256}+{（{4-4}）^2}×\frac{108}{256}+{（{5-4}）^2}×\frac{81}{256}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望及其方差的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．