Question

2．設(shè)曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（其中θ為參數(shù)）．曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
（Ⅰ）將曲線C₁和C₂，化為直角坐標(biāo)系下的方程：
（Ⅱ）設(shè)C₁和C₂的交點(diǎn)分別為A，B．求線段AB的中垂線的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)sin²θ+cos²θ=1，求出C₁的普通方程，根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出C₂的普通方程即可；
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出AB的中垂線方程即可．

解答 解  （Ⅰ）∵曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（其中θ為參數(shù)），
∴C₁：$\frac{x^2}{2}$+y²=1
∵曲線${C_2}：ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ得：
C₂：2x+2y-1=0…（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$（\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1，\\ y=-x+\frac{1}{2}.\end{array}\right.$，得：3x²-2x-$\frac{3}{2}$=0，
則  x₁+x₂=$\frac{2}{3}$．∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$）．
∴AB的中垂線的參數(shù)方程為$（\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t，\\ y=\frac{1}{6}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$（t為參數(shù)）   …（12分）
（ 方程寫成$（\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}+t，\\ y=\frac{1}{6}+t.\end{array}\right.$（t為參數(shù)） 等均可 ）

點(diǎn)評 本題考查了直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化及其應(yīng)用，是一道中檔題．