Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x+elnx-2ax在x∈（1，3）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{{e}^{3}}{2}$+$\frac{e}{6}$）
• B． [（$\frac{{e}^{3}}{2}$+$\frac{e}{6}$，+∞）
• C． （-∞，e）
• D． （-∞，e）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=e^x+elnx-2ax在x∈（1，3）上單調(diào)遞增，等價(jià)于f′（x）≥0在區(qū)間（1，3）上恒成立，分離參數(shù)a后化為求函數(shù)的范圍即可得到所求范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x+elnx-2ax在x∈（1，3）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0在區(qū)間（1，3）上恒成立，
則$\frac{e}{x}$+e^x-2a≥0，即2a≤$\frac{e}{x}$+e^x在區(qū)間（1，3）上恒成立，
而y=$\frac{e}{x}$+e^x的導(dǎo)數(shù)為e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$，
由于e^x∈（e，e³），$\frac{e}{{x}^{2}}$∈（$\frac{1}{9}$e，e），
即有e^x-$\frac{e}{{x}^{2}}$＞0，則y=$\frac{e}{x}$+e^x在（1，3）遞增，
即有y=$\frac{e}{x}$+e^x＞2e，
故2a≤e，解得a≤e．
故選C．

點(diǎn)評 該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．