【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，長軸長是短軸長的2倍.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值，并求出該定值.

【答案】(1) ；（2）1。

【解析】

(1) 由橢圓的方程可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)，可以求出，長軸長是短軸長的2倍，可以求出，由此可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)。

（1）由橢圓可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)所以=1，又因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，所以=2，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。

（2）若直線的斜率不存在，即直線的方程為，與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意。

設(shè)直線的斜率為，若=0，直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，故。

所以直線的方程為，即， 直線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立得：消去得，，

設(shè)，則，

，

把代入上式，得

，命題得證。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（I）當(dāng)時(shí)，求證平面

（II）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．

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(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域．

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（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（3）設(shè)函數(shù)若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比P到直線的距離大1.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是D，證明：直線恒過點(diǎn)F.

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【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，都有（為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求；

（2）當(dāng)時(shí)，

（ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（ⅱ）若數(shù)列為遞增數(shù)列且，設(shè)，試問是否存在正整數(shù)（其中），使成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組；若不存在，說明理由.

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【題目】以下四個(gè)命題：①設(shè)，則是的充要條件；②已知命題、、滿足“或”真，“或”也真，則“或”假；③若，則使得恒成立的的取值范圍為{或}；④將邊長為的正方形沿對(duì)角線折起，使得，則三棱錐的體積為.其中真命題的序號(hào)為________.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若曲線與在點(diǎn)處有相同的切線，求函數(shù)的極值；

（2）若時(shí)，不等式在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓：經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩個(gè)相異點(diǎn)，證明：面積為定值.

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