【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),長軸長是短軸長的2倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),記直線的斜率為,直線的斜率為,證明:為定值,并求出該定值.
【答案】(1) ;(2)1。
【解析】
(1) 由橢圓的方程可知,橢圓的焦點(diǎn)在軸上,經(jīng)過點(diǎn),可以求出,長軸長是短軸長的2倍,可以求出,由此可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
(2)設(shè)出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)。
(1)由橢圓可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,經(jīng)過點(diǎn)所以=1,又因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍,所以=2,因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:。
(2)若直線的斜率不存在,即直線的方程為,與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意。
設(shè)直線的斜率為,若=0,直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意,故。
所以直線的方程為,即, 直線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立得:消去得,,
設(shè),則,
,
把代入上式,得
,命題得證。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面,在棱上.
(I)當(dāng)時(shí),求證平面
(II)當(dāng)二面角的大小為時(shí),求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)滿足f(0)=f(1),且方程x=f(x)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[0,3]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程.
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(3)設(shè)函數(shù)若對(duì)于任意,都有成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比P到直線的距離大1.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是D,證明:直線恒過點(diǎn)F.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意,都有(為常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求;
(2)當(dāng)時(shí),
(ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(ⅱ)若數(shù)列為遞增數(shù)列且,設(shè),試問是否存在正整數(shù)(其中),使成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)組;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題:①設(shè),則是的充要條件;②已知命題、、滿足“或”真,“或”也真,則“或”假;③若,則使得恒成立的的取值范圍為{或};④將邊長為的正方形沿對(duì)角線折起,使得,則三棱錐的體積為.其中真命題的序號(hào)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若曲線與在點(diǎn)處有相同的切線,求函數(shù)的極值;
(2)若時(shí),不等式在(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),)上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,橢圓:經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn),射線與橢圓交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),直線與橢圓交于,兩個(gè)相異點(diǎn),證明:面積為定值.
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