Question

8．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是等邊三角形，已知BC=2AC=4，AB=2$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面CBP；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理證明BC⊥平面PAC即可證明平面PAC⊥平面CBP；
（Ⅱ）根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求二面角A-PB-C的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：在△ABC中，由于BC=4，AC=2，AB=2$\sqrt{5}$．
∴AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC．
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BC?平面PBC，
∴BC⊥平面PAC，
BC?⊥平面PBC，
故 平面PAC⊥平面CBP．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面PAC，所以平面PBC⊥平面PAC，過A作AE⊥PC交PC于E，則AE⊥平面PBC，
再過E作EF⊥PB交PB于F，連結(jié)AF，
則∠AFE就是二面角A-PB-C的平面角．
由題設(shè)得AE=$\sqrt{3}$，EF=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{19}{5}}$，
∴cos∠AFE=$\frac{EF}{AF}=\frac{2}{\sqrt{19}}$=$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

點評 本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的推理能力．