【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左頂點為，右焦點為，為橢圓上兩點，圓.

（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；

（2）若圓的半徑為，點滿足，求直線被圓截得弦長的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）確定圓的方程，就是確定半徑的值，因為直線與圓相切，所以先確定直線方程，即確定點坐標：因為軸，所以，根據(jù)對稱性，可取，則直線的方程為，根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得（2）根據(jù)垂徑定理，求直線被圓截得弦長的最大值，就是求圓心到直線的距離的最小值. 設直線的方程為，則圓心到直線的距離，利用得，化簡得，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結合韋達定理得，因此，當時，取最小值，取最大值為.

試題解析：解：（1）

因為橢圓的方程為，所以，.

因為軸，所以，而直線與圓相切，

根據(jù)對稱性，可取，

則直線的方程為，

即.

由圓與直線相切，得，

所以圓的方程為.

（2）

易知，圓的方程為.

①當軸時，，

所以，

此時得直線被圓截得的弦長為.

②當與軸不垂直時，設直線的方程為，，

首先由，得，

即，

所以（*）.

聯(lián)立，消去，得，

將代入（*）式，

得.

由于圓心到直線的距離為，

所以直線被圓截得的弦長為，故當時，有最大值為.

綜上，因為，所以直線被圓截得的弦長的最大值為.

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（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，設直線不經(jīng)過點,與交于，兩點，若直線的斜率與直線的斜率之和為，判斷直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.

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(1)若樣本中月均用電量在的居民有戶,求樣本容量;

(2)求月均用電量的中位數(shù);

(3)在月均用電量為,,,的四組居民中,用分層隨機抽樣法抽取戶居民,則月均用電量在的居民應抽取多少戶?

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（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：

且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；

（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4 7 5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望.

在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.

注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=；

（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.

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【題目】已知，為橢圓的左右焦點，在以為圓心，1為半徑的圓上，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線交橢圓于，兩點，過與垂直的直線交圓于，兩點，為線段的中點，求的面積的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，且在橢圓上運動，當點恰好在直線l:上時，的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）作與平行的直線，與橢圓交于兩點，且線段的中點為，若的斜率分別為，求的取值范圍.

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