Question

17．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A，B是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，M為橢圓C的上頂點(diǎn)，設(shè)直線MA的斜率為k₁，直線MB的斜率為k₂，k₁k₂=-$\frac{2}{3}$
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)D（-$\sqrt{3}$，0），交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{DP}$=3$\overrightarrow{QD}$，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得M（0，b），A（-a，0），B（a，0）．由斜率公式可得k₁，k₂，再由條件結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得a²=3c²，b²=2c²，可設(shè)橢圓C的方程為：2x²+3y²=6c²，設(shè)直線l的方程為：x=my-$\sqrt{3}$，直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，聯(lián)立方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，求得S_△OPQ，化簡(jiǎn)運(yùn)用基本不等式可得最大值，進(jìn)而得到a，b，c，即有橢圓方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得M（0，b），A（-a，0），B（a，0）．
k₁=$\frac{a}$，k₂=-$\frac{a}$                        
k₁k₂=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，b=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．                             
（Ⅱ）由（Ⅰ）知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得a²=3c²，b²=2c²，
可設(shè)橢圓C的方程為：2x²+3y²=6c²，
設(shè)直線l的方程為：x=my-$\sqrt{3}$，直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-\sqrt{3}}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6{c}^{2}}\end{array}\right.$得（2m²+3）y²-4$\sqrt{3}$my+6-6c²=0，
因?yàn)橹本�l與橢圓C相交，所以△=48m²-4（2m²+3）（6-6c²）＞0，
由韋達(dá)定理：y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{6-6{c}^{2}}{3+2{m}^{2}}$．    
又$\overrightarrow{DP}$=3$\overrightarrow{QD}$，所以y₁=-3y₂，
代入上述兩式有：6-6c²=-$\frac{36{m}^{2}}{2{m}^{2}+3}$，
所以S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|OD|•|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\frac{8\sqrt{3}m}{3+2{m}^{2}}$|
=12•$\frac{|m|}{2|m{|}^{2}+3}$=12•$\frac{1}{2|m|+\frac{3}{|m|}}$≤12•$\frac{1}{2\sqrt{6}}$=$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=$\frac{3}{2}$時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)c²=$\frac{5}{2}$，
代入△，有△＞0成立，
所以橢圓C的方程為：$\frac{2{x}^{2}}{15}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用直線的斜率公式，考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及向量共線的坐標(biāo)表示，和基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．