Question

【題目】已知曲線，相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，且函數(shù)在處取得最大值，則下列命題正確的是（ ）

①當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；

②將的圖象向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)；

③函數(shù)的最小正周期為；

④函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

A.①②B.①③C.①③④D.②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)函數(shù)相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，求得函數(shù)的最小正周期，從而求得，再利用輔助角公式，求得函數(shù)的解析式，逐項(xiàng)分析，即可求解.

由題意，函數(shù)，其中，

因?yàn)楹瘮?shù)相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，可得最小值周期為，

又由，所以，

當(dāng)時(shí)，則，

對(duì)于①中，由函數(shù)在出取得最大值，可得，

解得，所以，

又由，所以，即，所以是正確的；

對(duì)于②中，不妨令，則，可解得一個(gè)，那么的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，所以是不正確的；

對(duì)于③中，由于的周期為，可得函數(shù)的周期為，即函數(shù)的最小正周期應(yīng)滿足，所以是正確的；

對(duì)于④中，

，

由③可知函數(shù)的最小正周期為，由函數(shù)在處取得最大值可知，在其后上滿足，而當(dāng)超過這區(qū)間的時(shí)候，存在的情況，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)值一直為0，顯然不止一個(gè)零點(diǎn)，所以是錯(cuò)誤的.

當(dāng)時(shí)，同理可驗(yàn)證得到以上結(jié)論，

綜上可得正確的是①③.

故選：B.