Question

8．已知函數(shù)f（x）=（x²+x）（x²+ax+b），若對?x∈R，均有f（x）=f（2-x），則f（x）的最小值為-$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由f（0）=f（2），f（-1）=f（3）可求得a，b，從而確定函數(shù)f（x），從而求導(dǎo)確定函數(shù)的極值，從而求最小值．

解答 解：∵對?x∈R，均有f（x）=f（2-x），
∴f（0）=f（2），f（-1）=f（3），
即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），
解得，a=-5，b=6；
故f（x）=（x²+x）（x²-5x+6），
令f′（x）=（2x+1）（x²-5x+6）+（x²+x）（2x-5）
=（x-1）（2x²-4x-3）=0，
解得，x=1或x=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$或x=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
由函數(shù)的對稱性知，
當(dāng)x=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$或x=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$時，函數(shù)f（x）都可以取到最小值，
f（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，
故答案為：-$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及學(xué)生的化簡運算能力，屬于中檔題．