Question

5．在平面直角坐標系xOy中，點P（a，b）（a＞b＞0）為動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點，已知△F₁PF₂為等腰三角形．
（1）求橢圓的離心率e．
（2）設直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點，且|AB|=$\frac{16}{5}$，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用△F₁PF₂為等腰三角形得|PF₂|=|F₁F₂|，解其對應的方程即可求橢圓的離心率e；
（2）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得A，B兩點的坐標，代入兩點的距離公式，解方程可得橢圓方程．

解答 解：（1）設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）．
由題得|PF₂|=|F₁F₂|，即$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$=2c，
即2a²-2ac=4c²，
整理得2（$\frac{c}{a}$）²+$\frac{c}{a}$-1=0，得$\frac{c}{a}$=-1（舍），或$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
所以e=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知a=2c，b=$\sqrt{3}$c，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{a-c}$=$\sqrt{3}$，
可得橢圓方程為3x²+4y²=12c²，直線方程為y=$\sqrt{3}$（x-c）．
A，B的坐標滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12{c}^{2}}\\{y=\sqrt{3}（x-c）}\end{array}\right.$，
消y并整理得5x²-8xc=0，解得x=0，x=$\frac{8}{5}$c，
得方程組的解為$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{3}c}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}c}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{5}c}\end{array}\right.$，
不妨設A（$\frac{8}{5}$c，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$c），B（0，-$\sqrt{3}$c）．
由|AB|=$\frac{16}{5}$，可得$\sqrt{\frac{64}{25}{c}^{2}+\frac{192}{25}{c}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
解得c=1，即有a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題主要考查橢圓的方程和幾何性質，直線的方程等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質和數(shù)形結合的數(shù)學思想，考查解決問題的能力和運算能力．