Question

14．已知x≥1，求函數(shù)y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2（a＞0）的最小值．

Answer 1

分析 化簡y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2=2（x²+$\frac{\frac{a}{2}}{{x}^{2}}$）-2，從而分類討論以確定函數(shù)的性質(zhì)，從而結(jié)合基本不等式求解．

解答 解：y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2=2（x²+$\frac{\frac{a}{2}}{{x}^{2}}$）-2，
①當0＜a≤2時，0＜$\frac{a}{2}$≤1；
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，
y=2（x²+$\frac{\frac{a}{2}}{{x}^{2}}$）-2在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故y_min=2+a-2=a；
②當a＞2時，$\frac{a}{2}$＞1，
由基本不等式可得，
y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2≥2$\sqrt{2a}$-2，
（當且僅當x²=$\frac{\sqrt{2a}}{2}$時，等號成立）；
故函數(shù)y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2（a＞0）的最小值為2$\sqrt{2a}$-2．

點評 本題考查了函數(shù)的化簡與應用，同時考查了基本不等式的應用及分類討論的思想應用．