Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+4（b∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[1，3]有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍；
（2）對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）-f（x₂）≤4恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過討論△的符號(hào)，從而求出b的范圍；（2）通過討論b的范圍，求出函數(shù)的極值，綜合得出b的范圍．

解答： 解：（1）①△=0時(shí)，得：b=±4，
b=-4時(shí)，顯然函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]只有1個(gè)零點(diǎn)2，
 ②當(dāng)△＞0時(shí)，由圖形可知

f(1)≥0 f(3)≤0

⇒

1+b+4≥0 9+3b+4≤0

⇒-5≤b≤-

13

3

，
.經(jīng)檢驗(yàn)b=-5滿足條件，b=-

13

3

不滿足條件．
∴b的取值范圍為[-5，-

13

3

)∪{-4}，
（2）原式等價(jià)于f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4，
①-

b

2

＜-1，即b＞2時(shí)，f（x）在x∈[-1，1]遞增，
∴f（x）_min=f（-1）=5-b，f（x）_max=f（1）=5+b，
∴M=2b＞4，與題設(shè)矛盾；
②-1≤-

b

2

≤0，即0≤b≤2時(shí)，f（x）在x∈[-1，-

b

2

]遞減，在x∈[-

b

2

，1]遞增，
∴f（x）min=f（-

b

2

）=-

b2

4

+5，f（x）max=f（1）=5+b，
∴M=

b2

4

+b≤4結(jié)合上述條件解得0≤b≤2，
 ③當(dāng)0＜-

b

2

≤1，即-2≤b＜0時(shí)，
f（x）在x∈[-1，-

b

2

]上單調(diào)遞減，在x∈[-

b

2

，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-

b

2

）=-

b2

4

+5，f（x）_max=f（-1）=5-b，
∴M=

b2

4

-b≤4，結(jié)合上述條件解得-2≤b＜0；
 ④當(dāng)-

b

2

＞-1，即b＜2時(shí)，f（x）在x∈[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=5+b，f（x）_max=f（-1）=5-b，
∴M=-2b＞4，與題設(shè)矛盾，
綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，是一道中檔題．