Question

【題目】四棱錐中,底面是邊長為的菱形,側(cè)面底面,60°, , 是中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上.

（Ⅰ）求證: ;

（Ⅱ）是否存在,使平面 平面？若存在,求出,若不存在,說明理由.

（Ⅲ）是否存在,使平面？若存在,求出.若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析；（III）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn),通過證明平面，可證。（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法尋找點(diǎn)Q.(3)由（2）用空間向量法尋找點(diǎn)Q.

試題解析：

（Ⅰ）取中點(diǎn),連接.

因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)榱庑?/span>中, ,所以.

所以.

因?yàn)?/span>,且平面,所以平面.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,

因?yàn)閭?cè)面底面,且平面底面,所以底面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則,因?yàn)?/span>為中點(diǎn),所以.

所以,所以平面的法向量為.

因?yàn)?/span>,設(shè)平面的法向量為,

則,即.

令,則,即.

所以.

由圖可知,二面角為銳角,所以余弦值為.

（Ⅲ）設(shè)

由（Ⅱ）可知.

設(shè),則,

又因?yàn)?/span>,所以,即.

所以在平面中, ,

所以平面的法向量為,

又因?yàn)?/span>平面,所以,

即,解得.

所以當(dāng)時(shí), 平面