Question

【題目】已知數(shù)列 的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于任意n∈N* ， 都有 成立，且 ．
（1）求 ， 的值；
（2）猜想數(shù)列 的通項(xiàng)公式，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因?yàn)? ，

當(dāng) 時(shí)，由 ，即有 ，

解得 ．因?yàn)? 為正整數(shù)，故 ．

當(dāng) 時(shí)，由 ，

解得 ，所以 ．

（2）

解：由 ， ， ，猜想：

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

①當(dāng) ， ， 時(shí)，由（1）知 均成立．

②假設(shè) 成立，則 ，

由條件得 ，

所以 ，

所以

因?yàn)? ， ， ，

又 ，所以 ．

即 時(shí)， 也成立．

由①，②知，對(duì)任意 ， ．

【解析】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)（1）先列出 所滿足條件 ，化簡(jiǎn)得 ，再根據(jù)數(shù)列 的各項(xiàng)均為正整數(shù)這一限制條件求出 ，同理可得 （2）猜想： ，用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵由k成立推出k+1成立，其推導(dǎo)思路同（1）：由條件得 ，所以 ，所以 因?yàn)? ， ， ，所以