Question

2．設(shè)f（x）=（x-1）³+x+2，{a_n}是公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，且f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）+f（a₆）=18，則a₁=（　�。�

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{7}{4}$
• C． -$\frac{5}{4}$
• D． -$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由已知函數(shù)解析式構(gòu)造新函數(shù)g（x）=f（x）-3，可得g（x）關(guān)于（1，0）對稱．把f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）+f（a₆）=18變形可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₆）=0，即g（a₃）與g（a₄）關(guān)于（1，0）對稱，由對稱性得到a₃+a₄=2，再結(jié)合已知求得a₁．

解答 解：∵f（x）=（x-1）³+x+2，∴f（x）-3=（x-1）³+x-1，
令g（x）=f（x）-3，
∴g（x）關(guān)于（1，0）對稱．
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=18，
∴f（a₁）-3+f（a₂）-3+…+f（a₆）-3=0，
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₆）=0，
∴g（a₃）與g（a₄）關(guān)于（1，0）對稱，
則a₃+a₄=$2{a}_{1}+5d=2{a}_{1}+\frac{5}{2}=2$．
解得：${a}_{1}=-\frac{1}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，靈活性強(qiáng)，難度較大．