Question

【題目】在如圖所示的五面體中，面ABCD為直角梯形，∠BAD=∠ADC= ，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是邊長(zhǎng)為2的正三角形．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，

過(guò)O作AB的平行線為y軸，OE為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則B（1，1，0），E（0，0， ），A（1，0，0），

C（﹣1，2，0），F(xiàn)（0，4， ），

=（﹣1，﹣1， ）， =（﹣1，4， ），

=（﹣2，2，0），

=1﹣4+3=0， =2﹣2=0，

∴BE⊥AF，BE⊥AC，

又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．

（Ⅱ）解： =（﹣2，1，0）， =（﹣1，3， ），

設(shè)平面BCF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，2，﹣ ），

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

設(shè)二面角A﹣BC﹣F的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過(guò)O作AB的平行線為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．