Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，DA⊥平面PAB，DC∥AB，DA＝DC＝2，AB＝AP＝4，∠PAB＝120°，M為PB中點．

（Ⅰ）求證：CM∥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】

（Ⅰ）取AB中點O，連接CO，MO，可得邊形AOCD為平行四邊形，得到CO∥AD，由線面平行的判定可得CO∥平面PAD；再證明MO∥PA，得到OM∥平面PAD，由面面平行的判定可得平面COM∥平面PAD，則CM∥平面PAD；

（Ⅱ）由DA⊥平面PAB，可得平面PAB⊥平面ABCD，由已知可得∠MAB＝60°，∠MOA＝60°，取AO中點G，連接MG，則MG⊥AO，過G作GH⊥AC，垂足為H，連接MH，則∠MHG為二面角M﹣AC﹣B的平面角，求解三角形得答案．

（Ⅰ）證明：取AB中點O，連接CO，MO，

∵DC∥AB，AO＝DC，可得四邊形AOCD為平行四邊形，

則CO∥AD，

∵AD平面PAD，CO平面PAD，∴CO∥平面PAD；

∵M為PB中點，O為AB中點，則MO∥PA，

∵PA平面PAD，OM平面PAD，∴OM∥平面PAD．

∵CO∩OM＝O，∴平面COM∥平面PAD，

則CM∥平面PAD；

（Ⅱ）解：由DA⊥平面PAB，DA平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD，

∵∠PAB＝120°，PA＝AB，M為PB的中點，則∠MAB＝60°，∠MOA＝60°，

取AO中點G，連接MG，則MG⊥AO，過G作GH⊥AC，垂足為H，連接MH，

則∠MHG為二面角M﹣AC﹣B的平面角，

在等邊三角形AMO中，由AO＝DC＝2，可得MG，HG，得MH．

∴cos∠MHG．

即二面角M﹣AC﹣B的余弦值為．