Question

已知 km-2km²-1≤0，當(dāng)0＜m＜

1

2

時，不等式恒成立．求k的最大值．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于二次項的系數(shù)為字母k，故需要k分，k=0，k＞0，k＜0三類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決．

解答： 解：設(shè)f（m）=km-2km²-1=-2km²+km-1
當(dāng)k=0時，-1＜0恒成立．
當(dāng)k≠0時，由f（m）的對稱軸是m=

1

4

，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知
當(dāng)k＞0時，函數(shù)f（m）在（0，

1

4

）為增函數(shù)，在（

1

4

，

1

2

）為減函數(shù)，故f（m）_max=f（

1

4

）=

1

4

k-

1

8

k-1≤0，解得0＜k≤8，
當(dāng)k＜0時，函數(shù)f（m）在（0，

1

4

）為減函數(shù)，在（

1

4

，

1

2

）為增函數(shù)，故f（0）＜-1，f（

1

2

）=-1＜0，．
綜上可得k的取值范圍（-∞，8]．
故k的最大值為8

點評：本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對K需要k分，k=0，k＞0，k＜0三類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題是關(guān)鍵，屬于中檔題．