Question

（2012•肇慶二模）如圖，某測量人員，為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1（百米）．
（1）求△CDE的面積；
（2）求A，B之間的距離．

Answer 1

分析：（1）連接DE，在△CDE中，求出∠DCE，直接利用三角形的面積公式求解即可．
（2）求出AC，通過正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB．

解答：解：（1）連接DE，在△CDE中，∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°，（1分）
S△BCD=

1

2

DC•CE•sin150o=

1

2

×sin30o=

1

2

×

1

2

=

1

4

（平方百米）         （4分）
（2）依題意知，在RT△ACD中，AC=DC•tan∠ADC=1×tan60o=

3

      （5分）
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°
由正弦定理

BC

sin∠CEB

=

CE

sin∠CBE

           （6分）
得BC=

CE

sin∠CBE

•sin∠CEB=

1

sin30o

×sin45o=

2

       （7分）
∵cos15°=cos（60⁰-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°    （8分）
=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 + 2

4

       （9分）
在△ABC中，由余弦定理AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB          （10分）
可得AB2=

3

2+

2

2-2

3

×

2

×

6 + 2

4

=2-

3

      （11分）
∴AB=

2- 3

（百米）                                           （12分）

點評：本題考查三角形的面積的求法，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力．