Question

已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）滿足

x+y≤4 y≥x x≥1

，過(guò)點(diǎn)P的直線l與圓C：x²+y²=16相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為

2

6

．

Answer 1

分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線與圓的位置關(guān)系，確定點(diǎn)P的位置，進(jìn)行即可即可．

解答：解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分CDE），
過(guò)點(diǎn)P的直線l與圓C：x²+y²=16相交于A、B兩點(diǎn)，要使|AB|最小，
則圓心到過(guò)P的直線的距離最大，
由圖象可知當(dāng)點(diǎn)P在E處時(shí)，滿足條件，此時(shí)OE⊥AB，
由

x=1 x+y=4

，解得

x=1 y=3

，即E（1，3）．
此時(shí)|OE|=

12+32

=

10

，
∴|AB|=2|BE|=2

OB2-OE2

=2

16-10

=2

6

，
故答案為：2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用直線和圓相交，根據(jù)弦長(zhǎng)公式確定點(diǎn)P的位置是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．