Question

7．已知點P在邊長為2的正方形ABCD邊界上運動，點M在以P為圓心，1為半徑的圓上運動，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$的最大值為1+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立直角坐標系，可得A，B，C，D的坐標，設(shè)M（m，n），運用數(shù)量積的坐標表示可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$=m（m-2）+n（n-2）=（m-1）²+（n-1）²-2，運用幾何意義：距離的平方，即可得到所求最大值．

解答 解：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，
建立直角坐標系，可得A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），
設(shè)M（m，n），則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$=（-m，-n）•（2-m，2-n）=m（m-2）+n（n-2）
=（m-1）²+（n-1）²-2
要求$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$的最大值，
即求點（m，n）與點E（1，1）的距離的平方的最大值．
由圖象可得，當P在點A，B，C，D時，連接PE，延長交圓于M，即為所求．
此時，|PM|=1+$\sqrt{2}$，
即有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$的最大值為（1+$\sqrt{2}$）²-2=1+2$\sqrt{2}$．
故答案為：1+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的最值的求法，考查坐標法的運用以及點與圓的位置關(guān)系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．