Question

【題目】已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且， ．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列滿足， .①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②是否存在正整數(shù)， （），使得， ， 成等差數(shù)列？若存在，求出， 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ①；②存在正整數(shù)， ，使得， ， 成等差數(shù)列.

【解析】試題分析：（1）直接由已知列關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解方程組得首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）①把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，然后裂項(xiàng)，累加后即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；②假設(shè)存在正整數(shù)， （），使得， ， 成等差數(shù)列，則，由此列關(guān)于的方程，求解得答案.

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則．

由， ，得解得或（舍去）．

所以．

（2）①因?yàn)?/span>， ，所以，

，

即， ，…， ，（ ）

累加得，所以，

也符合上式，故， ．

②假設(shè)存在正整數(shù)、（），使得， ， 成等差數(shù)列，則．

又， ， ，

所以 ，即，

化簡(jiǎn)得： ，

當(dāng)，即時(shí)， （舍去）；

當(dāng)，即時(shí)， 符合題意．

所以存在正整數(shù)， ，使得， ， 成等差數(shù)列．