Question

17．已知函數f（x）=ln（x+$\frac{a}{x}$-2）（a＞0）
（I）當1＜a＜4時，函數f（x）在[2，4]上的最小值為ln$\frac{3}{2}$，求a；
（Ⅱ）若存在x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2，利用導數判斷g（x）的單調性，再根據符合函數判斷f（x）的單調性，根據函數的單調性即可求出函數的最值，即可求出a的值，
（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知，函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增，求出函數的最小值，根據存在x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）＜0，得到a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）令g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2，
∴g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
∵x∈[2，4]，1＜a＜4，
∴x²-a＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[2，4]上單調遞增，
∴f（x）在[2，4]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（2）=ln（2+$\frac{a}{2}$-2）=ln$\frac{3}{2}$，
∴a=3，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數f（x）在（2，+∞）上單調遞增，
∴f（x）_min=f（2）=ln（2+$\frac{a}{2}$-2）=ln$\frac{a}{2}$，
∵存在x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）＜0，
∴l(xiāng)n$\frac{a}{2}$＜0=ln1，
∴0＜a＜2
故a的取值范圍為（0，2）

點評 本題考查了導數的綜合應用及存在性問題的應用以及復合函數的單調性，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．