【題目】如圖,梯形ABEF中,AF∥BE,AB⊥AF,且AB=BC=AD=DF=2CE=2,沿DC將梯形DCFE折起,使得平面DCFE⊥平面ABCD.
(1)證明:AC∥平面BEF;
(2)求三棱錐D﹣BEF的體積;
(3)求直線(xiàn)AF與平面BDF所求的角.
【答案】
(1)證明:如圖,取BF的中點(diǎn)M,設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O,連接MO,ME.
由題設(shè)知,CE DF,MO DF,∴CE MO,
∴四邊形OCEM為平行四邊形,∴EM∥CO,即EM∥AC.
又AC平面BEF,EM平面BEF,
∴AC∥平面BEF
(2)解:∵平面CDFE⊥平面ABCD,平面CDFE∩平面ABCD=DC,BC⊥DC,
∴BC⊥平面DEF.
∴三棱錐D﹣BEF的體積為:
(3)解:∵平面CDFE⊥平面ABCD,平面CDFE∩平面ABCD=DC,
又FD⊥CD,∴FD⊥平面ABCD,
又AC平面ABCD,∴AC⊥DF
又在正方形ABCD中,AC⊥BD,BD∩DF=D,∴AC⊥平面BDF,
連結(jié)FO,∵AF與平面BDF所成角為∠AFO,又AB=AD=DF=2,
∴ , ,
∴ ,
∴直線(xiàn)AF與平面BDF所求的角為 .
【解析】(1)取BF的中點(diǎn)M,設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O,連接MO,ME,推導(dǎo)出四邊形OCEM為平行四邊形,從而EM∥AC,由此能證明AC∥平面BEF.(2)推導(dǎo)出BC⊥平面DEF,從而三棱錐D﹣BEF的體積為 ,由此能求出結(jié)果.(3)推導(dǎo)出FD⊥平面ABCD,AC⊥DF,AC⊥平面BDF,連結(jié)FO,則AF與平面BDF所成角為∠AFO,由此能求出直線(xiàn)AF與平面BDF所求的角的大。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線(xiàn)與平面平行的判定(平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線(xiàn)線(xiàn)平行,則線(xiàn)面平行),還要掌握空間角的異面直線(xiàn)所成的角(已知為兩異面直線(xiàn),A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓M: =1(a>b>0)的離心率為 ,點(diǎn)A(a,0),B(0,﹣b),原點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為 .
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l:y=2x+m與橢圓M相交于C、D不同兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)線(xiàn)段CD上點(diǎn)E的直線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)P,且有 =0,| |=| |,試求△PCD面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且滿(mǎn)足b+ccosA=c+acosC.
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若△ABC的面積為 ,求△ABC的周長(zhǎng)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=3x+λ3﹣x(λ∈R)
(1)當(dāng)λ=﹣4時(shí),求解方程f(x)=3;
(2)根據(jù)λ的不同取值,討論函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2+ax+1(a∈R). (Ⅰ)當(dāng)a= 時(shí),求不等式f(x)<3的解集;
(Ⅱ)當(dāng)0<x<2時(shí),不等式f(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)求關(guān)于x的不等式f(x)﹣ a2﹣1>0的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:
收入x (萬(wàn)元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y (萬(wàn)元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
據(jù)上表得回歸直線(xiàn)方程 = x+ ,其中 =0.76, = ﹣ ,據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶(hù)收入為15萬(wàn)元家庭年支出為( )
A.11.4萬(wàn)元
B.11.8萬(wàn)元
C.12.0萬(wàn)元
D.12.2萬(wàn)元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)ABC﹣A1B1C1中,點(diǎn)G是AC的中點(diǎn).
(1)求證:B1C∥平面 A1BG;
(2)若AB=BC, ,求證:AC1⊥A1B.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】邊長(zhǎng)分別為1, ,2 的三角形的最大角與最小角的和是( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=1,a2+a6=14;正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足:b1=2,b3=8.
(Ⅰ) 求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式an , bn;
(Ⅱ)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn .
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