Question

2．如圖，AB與圓O相切于點B，CD為圓O上兩點，延長AD交圓O于點E，BF∥CD且交ED于點F
（I）證明：△BCE∽△FDB；
（Ⅱ）若BE為圓O的直徑，∠EBF=∠CBD，BF=2，求AD•ED．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據BF∥CD便有∠EDC=∠BFD，再根據同一條弦所對的圓周角相等即可得出∠EBC=∠BFD，∠BCE=∠BDF，這樣即可得出：△BCE與△FDB相似；
（Ⅱ）根據條件便可得出∠EBC=∠FBD，再由上面即可得出∠FBD=∠BFD，這樣即可得出△FDB為等腰直角三角形，從而可求出BD=$\sqrt{2}$，根據射影定理即可求出AD•ED的值．

解答 解：
（Ⅰ）證明：∵BF∥CD；
∴∠EDC=∠BFD，
又∠EBC=∠EDC，
∴∠EBC=∠BFD，
又∠BCE=∠BDF，
∴△BCE∽△FDB．
（Ⅱ）因為∠EBF=∠CBD，所以∠EBC=∠FBD，
由（Ⅰ）得∠EBC=∠BFD，所以∠FBD=∠BFD，
又因為BE為圓O的直徑，
所以△FDB為等腰直角三角形，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF=$\sqrt{2}$，
因為AB與圓O相切于B，所以EB⊥AB，即AD•ED=BD²=2．

點評 考查內錯角相等，同條弦所對的圓周角相等，以及三角形相似的判定定理，直徑所對的圓周角為直角，以及射影定理．