【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個極值點,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)當(dāng)時, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,當(dāng)時, 的單調(diào)遞增區(qū)間是, ,單調(diào)遞減區(qū)間是 ;(Ⅲ).
【解析】試題分析:(Ⅰ)求當(dāng)a=2時,函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點,由點斜式方程即可得到切線方程;(Ⅱ)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),令f'(x)=0,得2x2-2x+a=0,對判別式討論,令導(dǎo)數(shù)大于0,得增區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)小于0,得減區(qū)間;(Ⅲ)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個極值點,由(Ⅱ)可得不等式f(x1)≥mx2恒成立即為即為,令求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即可得到h(x)的范圍,即可求得m的范圍.
試題解析:(Ⅰ)因為當(dāng)時, ,所以.
因為,所以切線方程為.
(Ⅱ)因為,令,即.
(ⅰ)當(dāng),即時, ,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
(ⅱ)當(dāng),即時,由,得,
① 若,由,得或;
由,得;
此時,函數(shù)在上遞減,在上遞增;
②若,則,函數(shù)在上遞減,在上遞增;
③若,則函數(shù)在上遞減,在上遞增.
綜上,當(dāng)時,函數(shù)的增區(qū)間為在,無減區(qū)間;
當(dāng)時, 的單調(diào)遞增區(qū)間是;
單調(diào)遞減區(qū)間是;
當(dāng)時, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,函數(shù)有兩個極值點,則.
因為,
所以.
因為,所以,
因為 ,
所以.
設(shè),則.
因為,且,
在上單調(diào)遞減,則,所以.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)若曲線的一條切線經(jīng)過點,求這條切線的方程.
(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2。
①求實數(shù)a的取值范圍;
②證明: .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)在(1)的條件下,求證:f(x)≥-+-4x+.
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【題目】如圖所示,四棱錐P-ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥底面ABCD, ,M為PC的中點,N點在AB上且.
(1)證明:MN∥平面PAD;
(2)求直線MN與平面PCB所成的角.
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【題目】如圖,在四棱錐中, , , , 平面.
(1)求證: 平面;
(2)若為線段的中點,且過三點的平面與線段交于點,確定點的位置,說明理由;并求三棱錐的高.
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【題目】隨著資本市場的強勢進入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析,得到表格:(單位:人)
經(jīng)常使用 | 偶爾或不用 | 合計 | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計 | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?
(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);
(ii)從這5人中,再隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】已知函數(shù) ,其導(dǎo)函數(shù)為.
(1)設(shè),若函數(shù)在上有且只有一個零點,求的取值范圍;
(2)設(shè),且,點是曲線上的一個定點,是否存在實數(shù),使得成立?證明你的結(jié)論
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,該幾何體是由一個直三棱柱和一個正四棱錐組合而成, , .
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求正四棱錐的高,使得二面角的余弦值是.
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