Question

18．從集合{1，2，3，4，5，6，7}中任取五個(gè)不同元素構(gòu)成數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中是a₃是a₁和a₅的等差中項(xiàng)，且a₂＜a₄，這樣的數(shù)列共有108．

Answer 1

分析 a₃是a₁和a₅的等差中項(xiàng)，可得2a₃=a₁+a₅，從集合{1，2，3，4，5，6，7}中任取五個(gè)不同元素，其中3個(gè)滿足a₃是a₁和a₅的等差中項(xiàng)的共有18組：1，2，3；3，2，1；…．其中對于每一組等差數(shù)列，且a₂＜a₄的可有：${∁}_{4}^{2}$=6組滿足．即可得出．

解答 解：∵a₃是a₁和a₅的等差中項(xiàng)，
∴2a₃=a₁+a₅，
從集合{1，2，3，4，5，6，7}中任取五個(gè)不同元素，
其中3個(gè)滿足a₃是a₁和a₅的等差中項(xiàng)的共有18組：1，2，3；3，2，1；1，3，5；5，3，1；1，4，7；7，4，1；2，3，4；4，3，2；2，4，6；6，4，2；3，4，5；5，4，3；3，5，7；7，5，3；4，5，6；6，5，4；5，6，7；7，6，5．
其中對于每一組等差數(shù)列，且a₂＜a₄的可有：${∁}_{4}^{2}$=6組滿足．
∴這樣的數(shù)列共有18×6=108組．
故答案為：108．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．