已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上．若橢圓上的點A(1，
3
2
)到焦點F1、F2的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標．
（2）過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，當△OMN的面積取得最大值時，求直線MN的方程．
（1）設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
∵橢圓上的點A(1，
3
2
)到焦點F1、F2的距離之和等于4，
∴
2a=4
1
a2
+
3
4
b2
=1
，
∴a=2，b=1
∴c=
a2-b2
=
3

∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1，焦點坐標為(-
3
，0)，(
3
，0)；
（2）MN斜率不為0，設MN方程為x=my+1．
聯(lián)立橢圓方程：
x2
4
+y2=1可得（m2+4）y2+2my-3=0
記M、N縱坐標分別為y1、y2，
則S△OMN=
1
2
|OQ|×|y1-y2|=
1
2
×1×
16m2+48
m2+4
=
2
m2+3
m2+4

設t=
m2+3
(t≥3)
則S=
2t
t2+1
=
2
t+
1
t
(t≥
3
)，該式在[
3
，+∞)單調(diào)遞減，
∴在t=
3
，即m=0時S取最大值
3
2
．
綜上，直線MN的方程為x=1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，M是拋物線y2=x上的一個定點，動弦ME、MF分別與x軸交于不同的點A、B，且|MA|=|MB|．證明：直線EF的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過右焦點F且斜率為
2
的直線l交橢圓E于兩點A，B，若以原點為圓心，
6
3
為半徑的圓與直線l相切
（1）求焦點F的坐標；
（2）以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OACB中，頂點C也在橢圓E上，求橢圓E的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

附加題：已知半橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)與半橢圓
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)組成的曲線稱為“果圓”，其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0，F(xiàn)0、F1、F2是對應的焦點．
（1）（文）若三角形F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程．
（2）（理）當|A1A2|＞|B1B2|時，求
b
a
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點為F，橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，C1與C2在第一象限的交點為P（
3
，
1
2
）
（1）求拋物線C1及橢圓C2的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C2交于不同兩點A、B，點M滿足
AM
+
BM
=
0
，直線FM的斜率為k1，試證明k•k1＞
-1
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設點P在曲線y=x2上，從原點向A（2，4）移動，如果直線OP，曲線y=x2及直線x=2所圍成的面積分別記為S1、S2．
（Ⅰ）當S1=S2時，求點P的坐標；
（Ⅱ）當S1+S2有最小值時，求點P的坐標和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知兩條拋物線y1=x2+2mx+4，y2=x2+mx-m中至少有一條與x軸有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線y=x-2與拋物線y2=4x交于A、B兩點，則|AB|的值為（　�。�
A．2
6
B．4
6
C．2
3
D．4
3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線y=k（x+2）與雙曲線
x2
m
-
y2
8
=1，有如下信息：聯(lián)立方程組：
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0，分類討論：
（1）當A=0時，該方程恒有一解；
（2）當A≠0時，△=B2-4AC≥0恒成立．在滿足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�
A．（1，
3
]		B．[
3
，+∞）		C．（1，2]D．[2，+∞）

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