Question

15．由$y=x+\frac{1}{x}$，x＞0的最小值是2，$y=x+\frac{1}{x^2}$，x＞0的最小值是$\frac{3}{{\root{3}{2^2}}}$，$y=x+\frac{1}{x^3}$，x＞0的最小值是$\frac{4}{{\root{4}{3^3}}}$，可以歸納出$y=x+\frac{1}{x^n}$，x＞0的最小值是$\frac{n+1}{\root{n+1}{{n}^{n}}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即可得出正確的結(jié)論．

解答 解：由$y=x+\frac{1}{x}$，x＞0的最小值是$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
$y=x+\frac{1}{x^2}$，x＞0的最小值是3$\root{3}{\frac{x}{2}•\frac{x}{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{3}{{\root{3}{2^2}}}$，
$y=x+\frac{1}{x^3}$，x＞0的最小值是4$\root{4}{\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{x}{3}•\frac{1}{{x}^{3}}}$=$\frac{4}{{\root{4}{3^3}}}$，
可以歸納出$y=x+\frac{1}{x^n}$，x＞0的最小值是
（n+1）$\root{n+1}{\frac{x}{n}•\frac{x}{n}•\frac{x}{n}…\frac{x}{n}•\frac{1}{{x}^{n}}}$=$\frac{n+1}{\root{n+1}{{n}^{n}}}$．
故答案為：$\frac{n+1}{\root{n+1}{{n}^{n}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．