Question

5．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，已知直線l的方程為$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），點(diǎn)M是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求線段OM的中點(diǎn)P的軌跡C'的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C'上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)中點(diǎn)公式求得線段OM的中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程，再把它化為直角坐標(biāo)方程．
（2）求得直線l的普通方程和曲線C的普通方程，可得曲線C表示以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓，故所求最小值為圓心（0，1）到直線l的距離減去半徑，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依據(jù)中點(diǎn)公式有 $\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
這是點(diǎn)P軌跡的參數(shù)方程，消參得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-1）²=1．
（2）直線l的普通方程為x-y-1=0，曲線C的普通方程為x²+（y-1）²=1，
表示以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓，
故所求最小值為圓心（0，1）到直線l的距離減去半徑，
設(shè)所求最小距離為d，則d=$\frac{|0-1-1|}{\sqrt{2}}$-1=$\sqrt{2}$-1＞0．
因此曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．