Question

在四面體ABCD中，△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，面ABD面⊥BCD，面ABC⊥面ADC，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．
（1）過三點(diǎn)D，M，N的平面α與面ABD交于直線l，求證：l∥MN；
（2）若AB=AD，求四面體ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明MN∥AB，利用線面平行的判定與性質(zhì)可得l∥MN；
（2）取BD中點(diǎn)O，連AO、CO，過B作BE⊥AC，連接DE，可得BE⊥DE，從而可求四面體ABCD的體積．

解答：（1）證明：∵M(jìn)、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MN∥AB
∵M(jìn)N?面ABD，AB?面ABD
∴MN∥面ABD  （2分）
又MN?面α，α∩面ABD=l，
∴l(xiāng)∥MN （4分）
（2）解：如圖取BD中點(diǎn)O，連AO、CO，
∵AB=AD，△BCD為正三角形  （6分）
∴AO⊥BD，OC⊥BD，
又面ABD⊥面BCD，∴AO⊥面BCD  （8分）
過B作BE⊥AC，連接DE，因?yàn)椤鰽DC≌△ABC，所以DE⊥AC，連接OE，由面ABC⊥面ADC，得BE⊥DE  （9分）
在等腰Rt△BED中，由BD=2得OE=1，
在Rt△OEC中，OC=

3

，所以tan∠ACO=

2

2

，
在Rt△AOC中，由OC=

3

，tan∠ACO=

AO

OC

=

2

2

，得OA=

6

2

（12分）
∴V_{四面體ABCD}=

1

3

×OA×S△BCD=

1

3

×

6

2

×

3

4

×22=

2

2

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查四面體的體積，考查學(xué)生分析、計(jì)算能力，屬于中檔題．