已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，且數(shù)學(xué)公式．
（1）求證：a＞0且數(shù)學(xué)公式；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，求|x1-x2|的范圍．

（1）證明：∵f（1）=a+b+c=-，∴c=-a-b
∴3a＞2c=-3a-2b，∴3a＞-b，
∵2c＞2b，∴-3a＞4b；
若a＞0，則；若a=0，則0＞-b，0＞b，不成立；若a＜0，則，不成立．
（2）證明：∵f（x）=ax2+bx+c，a＞0，b＜0，
∴-b＞a＞-b
f（2）=4a+2b+c=；f（0）=c=-a-b
f（0）×f（2）=-（a+b）2+b2＜0
又因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù)，故（0，2）中必有零點(diǎn)
∴在（0，2）區(qū)間內(nèi)至少必有一個(gè)點(diǎn)f（x）=0，即在此區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)
（3）解：∵x1+x2=-；x1x2=
又b=-（c+a）
∴|x1-x2|2=（x1 +x2）2-4x1x2=（）2=（-）2+2≥2
即|x1-x2|2≥2
∴|x1-x2|≥
分析：（1）根據(jù)f（1）=a+b+c=-，可得c=-a-b，結(jié)合3a＞2c＞2b，可得結(jié)論；
（2）利用零點(diǎn)存在定理，證明ff（0）×f（2）＜0即可；
（3）|x1-x2|2=（x1 +x2）2-4x1x2==（-）2+2≥2，由此可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查不等式的證明，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn)，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿(mǎn)足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時(shí)的x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時(shí)，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號(hào)是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案