Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+2a+b，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，-5≤f（x）≤1．
（1）求常數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x+

π

2

）且lgg（x）＞0，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由三角函數(shù)的性質(zhì)求出用參數(shù)表示的函數(shù)的最值，由于函數(shù)的值域已知，故此兩區(qū)間相等，故左端點(diǎn)與左端點(diǎn)相等，右端點(diǎn)與右端點(diǎn)相等，由此得到參數(shù)的方程，解出參數(shù)值即可．
（2）本題要求出在定義域中的單調(diào)區(qū)間，故要先求出其定義域，再由單調(diào)性求出其單調(diào)區(qū)間，由（1），f（x）=-4sin（2x+

π

6

）-1，代入即可求得g（x）的表達(dá)式，又由lgg（x）＞0，可求得函數(shù)的定義域，再由g（x）的單調(diào)性求出其在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴-2asin（2x+

π

6

）∈[-2a，a]，
∴f（x）∈[b，3a+b]，又-5≤f（x）≤1．
∴

b=-5 3a+b=1

，解得

a=2 b=-5

．
（2）f（x）=-4sin（2x+

π

6

）-1，
g（x）=f（x+

π

2

）=-4sin（2x+

7π

6

）-1
=4sin（2x+

π

6

）-1，
又由lgg（x）＞0，得g（x）＞1，
∴4sin（2x+

π

6

）-1＞1，
∴sin（2x+

π

6

）＞

1

2

，
∴

π

6

+2kπ＜2x+

π

6

＜

5

6

π+2kπ，k∈Z，
由

π

6

+2kπ＜2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得
kπ＜x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

＜

5

6

π+2kπ得

π

6

+kπ≤x＜

π

3

+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

π

3

+kπ）（k∈Z）

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，考查利用三角函數(shù)的最值建立方程求參數(shù)，求三角函數(shù)的最值一般需要先研究三角函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求最值，本題求最值采用了求復(fù)合函數(shù)最值常用的方法，由內(nèi)而外，逐層求解，題后要注意體會(huì)求最值的這一技巧，由于省略了討論函數(shù)單調(diào)性的過程，使得解題過程大大簡化．