Question

4．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，點(diǎn)B滿足2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$，其中A在曲線C₁上，點(diǎn)B的軌跡為曲線C₂
（Ⅰ）求曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C₂相交于M，N，求△MNO的面積．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．設(shè)B（x，y），由2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$，可得$\overrightarrow{OA}$=（2x，2y），代入曲線C₁的直角坐標(biāo)方程可得只直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程即可得出．
（II）由直線l，消去參數(shù)化為：x-y-2=0，與拋物線方程聯(lián)立解得M，N的坐標(biāo)，求出點(diǎn)O到直線l的距離d，利用△MNO的面積S=$\frac{1}{2}$d|MN|即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：y²=2x．
設(shè)B（x，y），∵2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$，∴$\overrightarrow{OA}$=（2x，2y），
代入曲線C₁的直角坐標(biāo)方程可得：（2y）²=2•2x，化為：y²=x，化為極坐標(biāo)方程可得：ρ²sin²θ=ρcosθ，即為ρsin²θ=cosθ．
∴曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=cosθ．
（II）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為：x-y-2=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴|MN|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（-1-2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴△MNO的面積S=$\frac{1}{2}$d|MN|=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相交弦長問題、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．