Question

12．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，B¹C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB₁C₁C．
（1）證明：A₁B₁⊥B₁C．
（2）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，BC=1，求點(diǎn)O到平面A₁B₁C₁的距離．

Answer 1

分析 （1）要證A₁B₁⊥B₁C，即證明B₁C⊥AB，即證B₁C⊥平面ABC₁，由菱形的對角線垂直和線面垂直的性質(zhì)，即可得證；
（2）由線面垂直可得棱錐的高為AO，由直角三角形的性質(zhì)，可得高，再由棱錐的體積公式，即可得到點(diǎn)O到平面A₁B₁C₁的距離．

解答 （1）證明：AO⊥平面BB₁C₁C，則AO⊥B₁C，
菱形BB₁C₁C，則B₁C⊥BC₁，
AO∩BC₁=O，AO，BC₁?平面ABC₁，
則有B₁C⊥平面ABC₁，
則B₁C⊥AB，
∴A₁B₁⊥B₁C；
（2）解：菱形BB₁C₁C中，∠CBB₁=60°，BC=1，則B₁C=1，
AO⊥平面BB₁C₁C，則AO⊥B₁C，由于AC⊥AB₁，
則AO=$\frac{1}{2}$B₁C=$\frac{1}{2}$，
△ABC中，BC=1，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{8}$．
設(shè)點(diǎn)O到平面A₁B₁C₁的距離為h，則
由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{8}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定定理及運(yùn)用，考查棱錐的體積公式和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．