Question

16．當(dāng)a＞0，b＞0時，①（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）≥4；②a²+b²+2≥2a+2b；③$\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt$；④$\frac{2ab}{a+b}$≥$\sqrt{ab}$．
以上4個不等式恒成立的是①②③．（填序號）

Answer 1

分析 在①和④中，利用均值不等式求解；在②中，由（a-1）²+（b-1）²≥0，得到a²+b²+2≥2a+2b；在③中，利用作差法知$\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt$不恒成立．

解答 解：在①中，∵a＞0，b＞0，∴（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=2+$\frac{a}+\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}=\frac{a}$時取等號，故①正確；
在②中，∵a＞0，b＞0，（a-1）²+（b-1）²≥0，
∴a²-2a+1+b²-2b+1≥0，
∴a²+b²+2-2a-2b≥0，
∴a²+b²+2≥2a+2b，故②正確；
在③中，∵a＞0，b＞0，（$\sqrt{|a-b|}$）²-（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²=|a-b|-a-b+2$\sqrt{ab}$，
當(dāng)a≥b時，（$\sqrt{|a-b|}$）²-（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²=|a-b|-a-b+2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{ab}$-2b≥0；
當(dāng)a＜b時，（$\sqrt{|a-b|}$）²-（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²=|a-b|-a-b+2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{ab}$-2a≥0，
故$\sqrt{|a-b|}$≥$\sqrt{a}$-$\sqrt$恒成立，故③正確；
在④中，∵a＞0，b＞0，∴$\frac{2ab}{a+b}$≤$\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評 本題考查基本不等式的性質(zhì)，涉及不等式的證明，關(guān)鍵是掌握不等式的基本性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)．