Question

8．已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），對任意x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，則不等式 ${e^{\frac{x-1}{2}}}f（x）＜f（2x-1）$的解集為（1，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，利用導數(shù)研究其在R上的單調性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{\frac{x}{2}}{f}^{′}（x）-\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}f（x）}{（{e}^{\frac{x}{2}}）^{2}}$=$\frac{2{f}^{′}（x）-f（x）}{2{e}^{\frac{x}{2}}}$＞0，
∴函數(shù)g（x）在R上單調遞增，
而不等式 ${e^{\frac{x-1}{2}}}f（x）＜f（2x-1）$化為：$\frac{f（2x-1）}{{e}^{\frac{2x-1}{2}}}$＞$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，
∴2x-1＞x，解得x＞1，
∴不等式 ${e^{\frac{x-1}{2}}}f（x）＜f（2x-1）$的解集為（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查了通過構造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性解不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．