Question

17．四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），AD∥BC，PD=$\sqrt{3}$a，∠DAB=θ
（Ⅰ）若θ=60°，AB=2a，Q為PB的中點(diǎn)，求證：DQ⊥PC；
（Ⅱ）若θ=90°，AB=$\sqrt{3}$a，M為BC中點(diǎn)，試在PC上找一點(diǎn)N，使PA∥平面DMN．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 連結(jié)BD，△ABD中，由余弦定理可求$BD=\sqrt{3}a$，證明BC⊥平面PBD，BC?平面PBC，可得平面PBD⊥平面PBC，又$PD=BD=\sqrt{3}a$，Q為PB中點(diǎn)，可得DQ⊥PB，即可由DQ⊥平面PBC，PC?平面PBC，證明DQ⊥PC．
（Ⅱ） 連結(jié)AM，AC，設(shè)AC∩DM=O，先證明DAMC為平行四邊形，由中點(diǎn)得ON∥PA，可證明PA∥平面DMN．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ） 連結(jié)BD，△ABD中，AD=a，AB=2a，∠DAB=60°，
由余弦定理：BD²=DA²+AB²-2DA•ABcos60°，
解得$BD=\sqrt{3}a$，
所以△ABD為直角三角形，BD⊥AD，
因?yàn)锳D∥BC，所以BC⊥BD，
又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，
所以BC⊥PD，因?yàn)镻D∩BD=D，
所以BC⊥平面PBD，BC?平面PBC，
所以，平面PBD⊥平面PBC，
又因?yàn)?PD=BD=\sqrt{3}a$，Q為PB中點(diǎn)，
所以DQ⊥PB，
因?yàn)槠矫鍼BD∩平面PBC=PB，
所以DQ⊥平面PBC，PC?平面PBC，
所以DQ⊥PC．…（6分）
（Ⅱ） 當(dāng)N為PC中點(diǎn)時(shí)，PA∥平面DMN；
證明：連結(jié)AM，AC，設(shè)AC∩DM=O
先證明DAMC為平行四邊形，由中點(diǎn)得ON∥PA
可證明PA∥平面DMN．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．