Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，其在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（　�。�

• A． [0，1]
• B． [-1，0]
• C． [-1，1]
• D． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 令t=2^x，x∈[0，1]，則t∈[1，2]，y=f（x）=|t-$\frac{a}{t}$|，若函數(shù)f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，其在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則y=|t-$\frac{a}{t}$|，t∈[1，2]為增函數(shù)，分類討論，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：令t=2^x，x∈[0，1]，則t∈[1，2]，y=f（x）=|t-$\frac{a}{t}$|，
若函數(shù)f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，其在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
則y=|t-$\frac{a}{t}$|，t∈[1，2]為增函數(shù)，
若a＞0，y=|t-$\frac{a}{t}$|的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\sqrt{a}$，0）和[$\sqrt{a}$，+∞），
則$\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1
若a=0，y=t，t∈[1，2]為增函數(shù)，滿足條件；
若a＜0，y=|t-$\frac{a}{t}$|的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\sqrt{-a}$，0）和[$\sqrt{-a}$，+∞），
則$\sqrt{-a}$≤1，即-1≤a＜0，
綜上可得a的取值范圍為[-1，1]，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．