Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x

e^x（a＞0），g（x）=[a（x-1）]e^x-f（x）．
（1）當(dāng)a=1時?x∈（0，+∞）都有g(shù)（x）≥1成立，求b的最大值；  
（2）當(dāng)?x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用分離變量法，由已知變量的取值范圍求出參數(shù)的取值范圍，通過構(gòu)造新的函數(shù)，等價轉(zhuǎn)化；
（2）存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，等價于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，設(shè)u（x）=

2x3-3x2

2x-1

（x＞1），求出u（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，g（x）=（x-

b

x

-2）e^x，
∵g（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴b≤x²-2x-

x

ex

在x∈（0，+∞）上恒成立．
記h（x）=x²-2x-

x

ex

，（x＞0），則h′（x）=

(x-1)(2ex+1)

ex

，
當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
∴h（x）_min=h（1）=-1-e^-1，
∴b的最大值為-1-e^-1．
②∵g（x）=（ax-

b

x

-2a）e^x，
∴g′（x）=（

b

x2

+ax-

b

x

-a）e^x，
∴由g（x）+g′（x）=0，整理得2ax³-3ax²-2bx+b=0．
存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，
等價于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，
∵a＞0，∴

b

a

=

2x3-3x2

2x-1

，
設(shè)u（x）=

2x3-3x2

2x-1

（x＞1），則u′（x）=

8x[(x- 3 4 )2+ 3 16 ]

(2x-1)2

，
∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，∴u（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴u（x）＞u（1）=-1，
∴

b

a

＞-1，即

b

a

的取值范圍為（-1，+∞）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的極值，構(gòu)造函數(shù)，利用化歸，等價轉(zhuǎn)化思想，解決恒成立問題和存在性的問題，這是�？嫉念}型，也是高考的熱點．平時要多多留意．